গাণিতিক রিলেশনশিপ

রিলেশনশিপ যে শুধুমাত্র মানুষ বা প্রাণীদের মধ্যেই স্থিতিশীল রয়েছে, এমনটা নয়। সম্পর্ক রয়েছে মহাবিশ্বের প্রতিটি ক্ষুদ্র জিনিস থেকে বৃহৎ জিনিসের মধ্যে। এমনকি সম্পর্কের এই বন্ধন থেকে বাদ যায়নি গণিতও। যেমন, একটি সুন্দর গাণিতিক অনুপাত, ‘সোনালি অনুপাত’ বা ‘গোল্ডেন রেশিও’ যা এই মহাবিশ্বের প্রতিটি সুন্দর জিনিসকে একটি সম্পর্কের বন্ধনে আবদ্ধ করেছে। আপনি যদি আরও ভালোভাবে লক্ষ্য করেন, তাহলে দেখতে পাবেন গণিতের সকল সমীকরণের মধ্যে রয়েছে একটি গাণিতিক সম্পর্ক যা দ্বারা বোঝায় ডানপক্ষ সমান বামপক্ষ। তো আজকের এই লেখায় গণিতের বিশেষ কয়েকটি টার্মের মধ্যকার সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করব।

ঘন সংখ্যা ও বর্গ সংখ্যার রিলেশনশিপ

আপনারা অনেকের হয়তো জানেন না যে, পাঠ্যবইয়ের বিভিন্ন সূত্র ছাড়াও ঘন আর বর্গ এর মধ্যে রয়েছে আরও অদ্ভুত ও মজাদার এক সম্পর্ক। এই সম্পর্কের সাধারণ গঠন হলো:

1^3  + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + n^3  = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n)^2

উদাহরণ:

1^3 = 1^2\\
1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2\\
1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2\\
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 =  (1 + 2 + 3 + 4)^2\\
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2\\
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^2

এভাবে অসীম পর্যন্ত চলতে থাকবে। এর কোনো শেষ নেই। বিশ্বাস না হলে নিজেই করে দেখতে পারো। আর হ্যাঁ, এই সম্পর্কটাকে চমৎকারভাবে প্রমাণ করা যায় ‘ইন্ডাকশন’ বা ‘গাণিতিক আরোহ’ পদ্ধতির সাহায্যে। সেই প্রমাণটা এখানে আলোচনা করব না, সেটা আপনাদের ওপরে ছেড়ে দিলাম।

এবার আসা যাক দ্বিতীয় গাণিতিক সম্পর্কে।

বিজোড় সংখ্যা ও বর্গ সংখ্যার রিলেশনশিপ

বিজোড় সংখ্যা ও বর্গ সংখ্যার মধ্যে একটি অসাধারণ মিল রয়েছে, যেটি সম্পর্কে আমরা অনেকেই হয়তো অবগত ন‌ই। সম্পর্কটা এরকম যে, প্রথম দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল 2 এর বর্গের সমান, আবার প্রথম তিনটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল 3 এর বর্গের সমান। এরকমভাবে প্রথম nটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল n এর বর্গের সমান। এই সম্পর্কের সাধারণ গঠন হলো:

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n^2

উদাহরণ:

1 = 1^2\\
1 + 3 = 2^2\\
1 + 3 + 5 = 3^2\\
1 + 3 + 5 +7 = 4^2\\
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2\\
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6^2

এটিও এভাবে চলতে থাকবে অসীম পর্যন্ত। এই সম্পর্কটাকে দুটি চমৎকার উপায় প্রমাণ করা যায়। একটি হচ্ছে ‘ইন্ডাকশন’ বা ‘গাণিতিক আরোহ’ পদ্ধতির সাহায্যে, আরেকটি হচ্ছে আমাদের ছোটবেলায় শিখে আসা সমান্তর ধারা ব্যবহার করে। তো, দুটি উপায়েই আপনারা এই সম্পর্কটাকে প্রমাণ করার চেষ্টা করতে পারেন।

আপনারাও খুঁজতে থাকুন গণিতের বিভিন্ন টার্মের অভ্যন্তরীণ সম্পর্ক কিংবা তৈরি করতে পারেন গণিতের সঙ্গে আপনার রিলেশনশিপ এবং হয়ে যেতে পারেন একজন গণিতপ্রেমী। তো সবাইকে গাণিতিক শুভেচ্ছা জানিয়ে আজ এখানেই শেষ করছি।